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[MATH5411]概率入门课，大二上足够
授课学期：2017年秋季
授课教授：陈卡你
教授和蔼 热情 功底深厚
这门课的Grade：较好
首先说Grade：不错，但是就像那些研究生课一样，大部分给A的调和分析课，你敢去上吗？
不吓人了，这门课还是非常建议高年级的MATH/QFIN/IELM(FE)/CS/EE/去上的，高等又现代的统计理论（Lasso，High-Dimensional Statistics，Concentration of Measure etc）是一定需要一定的高等概率(注意一定的含义，对于大部分人而言，是没有必要深入学习到比如Banach空间下中心极限定理这样的高度泛化的极限理论)作为基础从而深入的（其实专注的地方也就是5411+5412前半部分就可以了）。其实本身也没有资格评价老师讲的好坏，反正都是翘课自学嘛，过目一下这学期的Notes，其实已经发现，在同等级别的高等概率课中，这门课的内容已经精简的不能再精简了。举一个例子，在证明Kolmogorov 0-1律时，教授并未传统地单调类定理（Monotone Class Theorem）利用在$sigma-$ algebra 中的关于独立性的结论来证明，相反的是，为了节约时间，Kani教授讲0-1律当作鞅收敛定理一下的一个特例来解决。好了，这样可以现行定义条件期望和鞅(Martingale,下文鞅)哪怕是略过鞅收敛定理的证明，然而比较可悲的一点在于，定义条件期望几乎基于intuition（其实就看用没用Hilbert Space投影以及延伸到L1空间内或者干脆利用Radon-Nikodym 测度变换就可以），导致之后的定义定理都极显无力，更何况既然已经引入了鞅，那为何不再之后的极限理论（LLN，CLT）的证明中利用鞅收敛这一强大的工具进一步阐释，所以教授的意图也大抵只是节省时间罢了，将概率只是草草地把它当作分析的分支来对待，也许这也是收到传统统计理论熏陶所导致，这也是统计工作者而不是概率方向研究人员介绍概率最大的局限所在。授课还是中规中矩的，考试题也还是只要学过基本就能做对（有一道证明tail bound 私以为还是挺考验分析的功底的，估计很多上这门课的非数学课班会吃不消。）总之，对于上课的一众非统计／概率科班来说，作为入门的科普，足够了。总之，这门课的提升空间还是很大的，要是想学完这门课就说已经会了中心极限定理，大数定律，Borel-Cantelli lemma，很遗憾，我觉得这是比较naive的想法，有关概率的参考资料数不胜数，很多人会推荐PTE，的确，一个标准的入门概率教材做到这样，上课也讲到这个程度也是足够了。这门课我听到最可喜的地方是，教授还是能提到一些比较不错的小注意事项加深理解，比如那些例子（虽然PTE／Amir DemboNotes也有hhh），比如一些小小的推广（周元燊概率也hhh），但是对于大部分初学者而言，这样的介绍也非常有助于自己寻找学习方向并深入之。这门课上的还是很开心的。
2018.1.3
[MATH5411]Advanced Probability
课程时间：2013 Fall Sem
授课教授：Kani Chan
我觉得教授很nice
这门课的Grade：Grade神
我觉得这门课不是很实用，但很有意思，对之后学习Stochastic Processes应该很有帮助
感觉很可贵的是Kani Chan的教学方式，用一种intuition based引导方式教学，把之前的知识神奇的串联起来，Proof大家快速过掉作为辅助。
举个例子，比如Random Variable和Lebesgue Integral：感觉最开始接触概率的时候很难理解为什么会用function表示一个随机事件，还有为什么会有人想到要搞一个measure space出来，除了Riemann Integral 又弄个什么Lebesgue Integral。学完这门课后会觉得很自然，仍然记得Kani说的：“Random Variables are like crops grown on a field”，这真是太形象了。同一高度所对应的下方field大小就是取这个高度值的probability。而如何表示下方抽象的field的大小呢？就需要借助measure，把整个field当成一个measure，其中所有的set合起来看成measure space，定义set之间必须满足的运算关系，这样就可以给每个measure space里面的东西定义大小。当我们用这种方式来表示一个随机事件时，求Expectation就会面临很大的问题，因为Riemann Integral对Integrable的要求太高，而在算Random Variable的Expectation时，很多时候我们只关心每个RV(Random Variable)的值对应了下方多大的Field，而不关心这些Field处于什么位置，甚至完全不care这些field是什么东西。对于这种abstract的Integration，Riemann Integral完全没辙
再比如说Law Of Large Number，这个可以说是整学期的精髓了。但是很奇怪的是，为什么一堆function的平均值会慢慢converge成一个constant呢？现实中对应的就是为什么扔硬币扔个200次就有大约一百次朝上呢？这种非常神奇的现象是由于哪些Mathematical reason造成的呢？学完这门课你会发现这些非常的Intuitive，Same Expectation把所有function得值约束在了一点的周围，而剩下的approximation则大量依靠finite variance，即使是Infinite variance的情况，也会有某些特殊条件把wild values限制在一定范围内（其实从某种程度上就是限制了Variance，虽然Variance仍然是无穷的），各种convergence law变来变去都离不开这两点
不过最终的考试还是完全集中在Proof上...
真正的应用部分，应该要上到后面的Stochastic Processes才会接触到。其实Random Process在很多大学的经济系里面都会有要求，但貌似科大没有？？？真神奇...实在太实用了，什么fair game为什么必然会lose，Infinite Expectation为什么没有人愿意Pay Infinite Money，学起来应该会很有意思，期待下
这里插一条Kani的神奇...表现
上了半学期的课了，休息时间，马上快要上课了，这时候Professor Kani用很温柔很温柔对一个数学系的PG妹子说：“你是哪个系的啊？是不是数学系的？”
PG妹子答道：“恩对呀~我是数学系的”
Kani红光满面：“啊我就觉得见过你~嗯...我也是数学系的~”
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