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[MATH4221]Euclidean and Non-Euclidean Geometries
课程时间：2012年春季
授课教授：Avery Ching
Grade：较好
先说比重，25%的期中，75%的期末，试卷满分也正好是25分（1小时），75分（3小时），简单的说就是1分1个percent。
其他workload就是每两周一份作业，两至三题。虽然不占比重，但是有必要做，可以通过做这些证明题检验你的逻辑是完备，步骤是不是严谨，对考试有好处。
整体来说这课适合数学系的同学选修，minor数学的同学也可以考虑，pre-requisite不是很高。
整门课分为预备知识，incidence geometry(不知道怎么翻译) ，绝对几何，非欧几何，平行公理的独立性。
预备知识大概是基本逻辑和集合论，考试不会专门出题考这些，但是会变相在期中里面考到。
几何部分的知识是从incidence geometry开始的，所有的内容框架都是从点、线、相交三个无法被定义的东西和incidence三条公理开始衍生的。线段、射线、角等定义和若干简单的定理会慢慢累积，每当体系的适用性快陷入瓶颈时就会介绍新的公理系统（分别是betweenness axiom, congruence axiom 和 continuity aximom)，所有这些公理就构成了绝对几何的框架（neutral geometry）
相关的作业和tutor的习题不会很难，考核的重点还是逻辑的严谨和清晰，一道题拿满分也是不容易的。
在绝对几何的体系下，我们已经能得到许多定理了，最著名最有趣也是最重要的应该是三角形内角和小于或等于180度了。（和初高
中的平面几何不符）
整门课的关键点在于这个命题：经过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行（简平行公理）。这个命题是绝对几何的一个定理（推论）还是公理（不能被推出）困扰了几个时代的人。很多人试图证明它是个定理但在证明过程中都用到了与它等价的命题（就是自证了），老师会讲几个与平行公理等价的命题，有一个就是三角形内角和等于180度，也就是说在绝对几何体系下，再假设平行公理的话，整个几何框架就是我们中学熟悉的平面几何，也就是欧氏几何。
反之，在绝对几何体系下，假设平行公理的否命题（存在一条直线和不在这条直线上的一点，经过这点至少有两条直线与原直线平行）的话，就是非欧几何（双曲几何）了。学习基本的双曲几何就能得到一些彻底违背常识感知的结论了，例如长方形不存在，相似三角形必然全等等等..
这课最后讲了inversion（反演几何），并且构造了一个模型，满足所有绝对几何的公理和平行公理的否命题，从而完整证明了平行公理的独立性。
上了这门课感觉确实能学到东西，讲师备课讲课都是一流，就是“俄俄啊啊”的语气助词非常多，要适应一段时间。
（题外话，课本里看到的，非欧几何虽然自成体系，但是看上去很荒谬，现实中到底存不存在值得怀疑，最后爱因斯坦的广义相对论告诉大家真实空间是双曲几何的样子。。）
