課程：MATH5011
作者：jguoap [16级 SSCI]
創建於：2018-12-18 23:19:29
2018年秋季，金天灵堂，教授基本在念书：Homework 50%+ Final 50% Grade 较好
这门课一直在课表上但是时隔n年才开出来。这门课的名字叫高等实分析I，但实际上按照外校的master课用来过PhD qualify那种的话，I是讲抽象测度，Fourier变换之类 II就讲些泛函分析（一般在美帝公立学校这是master课），但是考虑到很多泛函 傅里叶分析内容都放到了MATH 5285甚至4063了，所以这门课也就一学期了。。
内容说是高等实分析，不过真要将一学期抽象测度那些东西那也真是无聊到吐，这点老师还是有和我一样想法的hh。所以把核心内容Radon measure，Radon-Nikodym，Riesz表示，L1 弱收敛这些东西拿出来讲完之后，就进到几何测度一些很皮毛的东西，大致就是Evans Ch1-3 + Ch6一节Whitney extension，这个在分析学是很重要的。
关于教材 Evans&Gariepy 那一本 测度论与精细函数想要多说一句，这本书 不太适合初学者初学，主要是它写的跟别的兼容度比较差，比如说里头开始测度的构建其实是外测度，还有就是Radon测度的定义这一块如果跟别的教材比是很乱套的，当然这本书typo这种就不多说了。还有就是教授明显是不会教这门课的，对这本书怎么用也不大懂，基本就是沦落念书就很惨了，我的建议是用Mattila/Maggi的几何测度论或者是Krantz的Geometric Integration Theory，都是很纯正的几何测度论教材，至于抽象测度这些，找一本Folland这种就好了，至于Stein还是太基础而且这套书只对学调和友好，不适合学分析的看，还不如Barry Simon分析四卷的Volume I 和 Royden那一本。。。对于[EG], 我建议是自己成体系后把里头的内容融入自己体系，这样学习还是好很多，而且物尽其用。
几何测度论是很美的学科，里头能从调和分析外的另一维度将“手工化分析”充分展现。所以最好是自己可以回忆出来里头证明那种的构造，那就很美了，比如说BV函数这种由于学时有限还有Lipschitz 延拓 这些没讲全或没讲到，强烈推荐看[EG]的最后一章，这也是这本书最精华的一部分！！
至于考试那就是考前1-2章的所有内容，但是这块你出题太容易全军覆没，而且一言不合就会像作业题那种出现open problem，就考考定理证明，定义概念这些，不过考的远比想象中简单。。。作业题还是很有趣的，值得细细研究，比如说Cantor集的Hausdorff测度与维数问题，1D情况下这个维数都是highly nontrivial的，（但是找bound还容易），2D那就是open problem了。至于Lipschitz extension，这一块也是很经典的几何测度论问题，而且还能跟non-linear PDE，metric embedding（这个TCS也关注）等联系起来，open problem非常多，都是可以深入学学的，还有一个作业题中利用Vitali 覆盖做的习题，其实来自于non linear PDE Holder regularity估计中出现的不同于Calderon-Zygmund的一类新分解，都是值得深挖的东西。
反正pg课就是这样嘛，你就靠这个名字多学，反正你就说你上这门课学过这些也是一样的嘛，对吧。
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